ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

 

Για τη Βελτίωση της λογικής και κριτικής ικανότητας των μαθητών  

 

Εισηγητης:Καραμπάτσος Αντ. Δρ. Π.

πρώην Σχολ. Συμβ. και Διδάσκων Α.Ε.Ι.

 

Το σχέδιο περιλαμβάνει ένα κείμενο που αποτελεί εκτενή περιγραφεί ενός μαθηματικού προβλήματος. Το σενάριο του προβλήματος προσπαθεί να προκαλεί ως ιστορία το ενδιαφέρον να διεγείρει την περιέργεια, να είναι ευχάριστο, να έχει χιούμορ και να παρασύρει το μαθητή προς τη λύση του. Προσπαθούμε το «πρόβλημα» να μην έχει την τυπική μορφή των μαθηματικών προβλημάτων, .

Στόχος είναι να προσελκύσουμε τα παιδιά να θελουν να το λύσουν με ευχάριστο τρόπο και χωρίς απειλή.

Το προτεινόμενο σχέδιο δράσης στηρίζεται στις αρχές της μαιευτικής μεθόδου του Σωκράτη.

Στη λύση αυτών των προβλημάτων μπορούν να οδηγηθούν όλοι οι μαθητές ανεξάρτητα από τις ικανότητές τους.

 

7. Αγναντεύοντας από τη γέφυρα των αμφω- Ρίων

 

Λίγες μέρες πριν την τελετή έναρξης των Ολυμπιακών αγώνων του 2004 στην Αθήνα έγιναν τα εγκαίνια μιας από τις ωραιότερες γέφυρες του κόσμου που ενώνει το Ρίο με το Αντίρριο.

Είναι η γέφυρα «Χαρίλαος Τρικούπης» ένα αξιοθέατο έργο με τα καλώδια, από όπου εξαρτάται, κυρίως, το βάρος της, σαν ξάρτια τεράστιου ιστιοφόρου. Θυμίζει κάτι από την αρχαία Ελλάδα ή από τη λαϊκή τέχνη- ποίηση των γεφυριών της ηπείρου.

Τα εγκαίνια της συνδέθηκαν με το ιστορικό γεγονός της Ολυμπιάδας με έναν πρωτότυπο τρόπο Οι πρώτοι άνθρωποι που θα περνούσαν την γέφυρα θα ήταν οι λαμπαδηδρόμοι που μετέφεραν τη φλόγα από την Ολυμπία στην Αθήνα.

Η τιμή αυτή δόθηκε στην Εθνική ομάδα ποδοσφαίρου, που πρόσφατα είχε κατακτήσει το Ευρωπαϊκό κύπελλο.

Ο προπονητής και οι παίκτες δέχτηκαν με μεγάλη χαρά την τιμή που τους έκαναν. Έπρεπε όμως να καθορίσουν τη σειρά και την απόσταση που θα έτρεχε ο κάθε παίκτης Για το ζήτημα αυτό ο προπονητής Ρεχάγκελ πήρε τον αρχηγό της εθνικής ομάδας ποδοσφαίρου τον Ζαγοράκη και πήγαν στο Ρίο για να κανονίσουν τις λεπτομέρειες της διαδρομής.

Τους υποδέχτηκε και τους ξενάγησε στην γέφυρα. ο Jean Poll Tesantie ο Γάλλους μηχανικός που την εμπνεύστηκε και τη σχεδίασε. Τους   εντυπωσίασαν τα στοιχεία και τα νούμερα, που άκουσαν, όπως ότι ο μεγάλος πυλώνας έχει ύψος από τον πυθμένα της θάλασσας 227 μέτρα και από την επιφάνειά της 165, τα πέλματα των πυλώνων είναι όσο ένα ποδοσφαιρικό γήπεδο και άλλα πολλά.

Αφού ευχαρίστησαν τον μηχανικό ,είπε, ο Ριχάγκελ στο Ζαγοράκη. Αύριο θα ξεκινήσεις στις 9 ακριβώς, το πρωί, από το Αντίρριο και με γρήγορο «τροχάδην» θα έρθεις στο Ρίο μετά θα κάνεις μεταβολή θα ξαναπάς στο Αντίρριο.

Εγώ θα ξεκινήσω ακριβώς την ίδια ώρα από το Ρίο και με αργό «τροχάδην» θα πάω στο Αντίρριο. Θα χρονομετρήσω τις διαδρομές για να δούμε πως θα μοιράσουμε τη διαδρομή στους λαμπαδηδρόμους.

Στις 9 το πρωί ξεκίνησαν και οι δύο και συναντήθηκαν στις 9 και 6 πρώτα λεπτά πάνω στην γέφυρα, κοντά στο δεύτερο πυλώνα, σε ένα σημείο, που έγραφε ότι απέχει από το Ρίο όσο «το ένα τέταρτο του τετράγωνο του βάθους της θάλασσας».

Συνέχισαν την πορεία τους, και τελικά έφτασαν ταυτόχρονα και οι δύο στο Αντίρριο.

Λοιπόν Coots   είπε ο Ζαγοράκης πόσοι λαμπαδηδρόμοι αποφάσισες να τρέξουμε;

Είναι καλύτερα να τρέξουμε με τον δικό μου ρυθμό, Captain είπε ο Ριχάγκελ στο Ζαγοράκη, ένας ανά λεπτό , για να λάβουμε μέρος περισσότεροι, αλλά μου σταμάτησε το χρονόμετρο και δεν ξέρω ούτε πόσοι θα τρέξουμε , ούτε   πόσα μέτρα θα τρέξει ο καθένας, αφού δεν ξέρω το μήκος της γέφυρας.

Αυτό, Coots, μη σε απασχολεί, είναι πρόβλημα που θα το λύσει ο αρχηγός που έχει πείρα σε πρακτικά θέματα αλλά και σε λογική στρατηγική.

Πώς , ρε Ζαγοράκη;

Ακούστε , Mister. Ξεκινήσαμε 9, συντηχθήκαμε 9 και 6. Από αυτό συνεπάγεται ότι έφτασες στο Αντίρριο σε 18 λεπτά. Άρα θα τρέξουν 18 λαμπαδηδρόμοι, δηλαδή 17 παίχτες και ένας εσείς Mister σύνολο 18. Αν η θάλασσα είναι τόσο βαθιά, όσο μας είπε ο μηχανικός, τότε καθένας μας θα τρέξει 160 μέτρα και εσείς Mister163. Σύνολο, δηλαδή, 2883 μέτρα. Αυτό είναι το μήκος της γέφυρας.

Αυτή είναι ασσίστ πάσα, έτοιμο γκόλ, ρε Ζαγοράκη, Μπράβο!

  1. Πώς βρήκε   το μήκος της ωραίας γέφυρας ο Ζαγοράκης;
  2. Πώς βρήκε   τη διάρκεια της διαδρομής;
  3. Πώς βρήκε   σε πόσο χρόνο ο Ρεχάγκελ διάνυσε τη γέφυρα;
  4. Σε πόσο χρόνο ο Ζαγοράκης διάνυσε το μήκος της γέφυρας;
  5. Σύγκρινε το τριπλάσιο του τέταρτου του τετράγωνο του βάθους της θάλασσας με το συνολικό μήκος της γέφυρας!

.

Η Λύση του προβλήματός μας

Προσπαθούμε μαζί βήμα-βήμα.

 

Νύξη 1: Συνολικά και οι δύο έτρεξαν τρεις φορές την γέφυρα. Δύο ο Ζαγοράκης και μία ο Ρεχάγκελ.

Όταν συναντήθηκαν είχαν διατρέξει όλη την γέφυρα σε 6 λεπτά. Δηλαδή αυτοί οι δύο όταν τρέχουν και όσο τρέχουν θα διανύουν σε 6 λεπτά μήκος ίσον με το μήκος της γέφυρας

Νύξη 2:Αφού διέτρεξαν τρεις φορές τη γέφυρα συνεπάγεται ότι έκαναν 18 λεπτά

Κατά τον ίδιο τρόπο συμπεραίνουμε ότι όταν συναντιούνται στη γέφυρα κάθε ένας τους έχει διανύσει μεν ένα μέρος της γέφυρας, αλλά και οι δύο μαζί έχουν διανύσει ολόκληρη τη γέφυρα.

Νύξη 3: Αν βρούμε πόσο βάδισε ο καθένας μέχρι τη συνάντηση μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε πόσα μέτρα βάδισε όλα-όλα

Νύξη 4: Ο Ρεχάγκελ, όταν συναντήθηκαν είχε βαδίσει από το Ρίο που ξεκίνησε τόσο, όσο το τέταρτο του τετράγωνο του βάθους της θάλασσας.

Νύξη 5: Να βρούμε ,λοιπόν, αυτή την απόσταση. Το βάθος της θάλασσας το υπολογίζουμε από την διαφορά του ύψους της γέφυρας, από τον πυθμένα της θάλασσας και από την επιφάνεια της θάλασσας. Αυτή η διαφορά είναι 62 μέτρα( 227-165=62).

Νύξη 6: Το τετράγωνο του 62 είναι το 3864 και το τέταρτο του 3864 είναι το 961.

Άρα το σημείο συνάντησης απέχει 961 μέτρα από το Ρίο.

Νύξη 7: Τόσα μέτρα διανύει ο Ρεχάγκελ όταν διανύουν και οι δύο μαζί μια απόσταση όσο το μήκος της γέφυρας. Τώρα που διάνυσαν τρεις φορές τη γέφυρα ο Ρεχάγκελ θα έτρεξε τρεις φορές αυτή την απόσταση των 961 μέτρων όση ώρα βάδιζε Δηλαδή 3χ961=2883

Νύξη 8: Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν σκεφτούμε με βάση το χρόνο. Στα 6 πρώτα λεπτά μέχρι την συνάντηση ο Ρεχάγκελ έτρεξε 961 μέτρα. Άρα στα 18 λεπτά που κράτησε η διαδρομή έτρεξε τριπλάσια απόσταση.

Ο Ρεχάγκελ διάνυσε μια φορά και ο Ζαγοράκης διάνυσε δύο φορές τη γέφυρα βαδίζοντας συνεχώς για 18 λεπτά. Άρα ο Ζαγοράκης έκανε 9 λεπτά να διανύσει όλη τη γέφυρα.

!!!

 

 

 

 

11. Το μήκος του Ευπαλινείου Ορύγματος

Στη Σάμο πριν λίγα χρόνια είχα την τύχη και τη χαρά να παρακολουθήσω έναν πρωτότυπο διαγωνισμό που οργάνωσε ο Δήμος του Πυθαγορείου.

Σύμφωνα με την προκήρυξη του διαγωνισμού έπρεπε να βρεθεί το μέσον του Ευπαλίνειου Ορύγματος χωρίς την βοήθεια τεχνικών μέσων  

Το Ευπαλίνειο Όρυγμα είναι υπόγειο υδραγωγείο μήκους 1045 μέτρων που σχεδίασε και έφτιαξε ο Ευπαλίνος από τα Μέγαρα όταν κυβερνούσε την Σάμο ο τύραννος Πολυκράτης τον 6ο αιώνα.

(γι αυτό ,πιθανόν, και το πρώτο τούνελ στην εθνική οδό Αθηνών –Κορίνθου, το κοντινότερα στα μέγαρα, ονομάστηκε Ευπαλίνος)

Στη Σάμο παραθέριζα σε ένα τουριστικό συγκρότημα, κοντά στ πυθαγόρειο, που είχε μορφή χωριού: με πλατεία, εκκλησία και κτήρια που   ήταν πιστά αντίγραφα παραδοσιακών σπιτιών της Σάμου.

Από εκεί κάναμε εξορμήσεις άλλοτε για τι ναό της Ήρας, άλλοτε για το Ευπαλίνειο Όρυγμα , άλλοτε για σπήλαιο του Πυθαγόρα και άλλοτε για να δούμε τον Αυτοκράτορα Τραϊανού με ύψους 2,7 μέτρων.

Εκεί συνάντησα και ένα τουρκοκύπριο, τον Χασάν, που παραθέρισε και αυτός   με την οικογένεια του.

-Ωραίο άγαλμα, μου λέει και έδειξε τον Τραϊανό!

-Ωραίο του λέω, αλλά όχι άγαλμα, αν και ο Τραϊανός θα το ήθελε πολύ φαντάζομαι!.

-Αν όχι άγαλμα τότε τι είναι, με ρώτησε όλο απορία;

-Με Αγάλματα παρίσταναν οι αρχαίοι μόνο τις θεές και τους θεούς!

-Ενδιαφέρον, είπε, δεν το γνώριζα!

-Όταν παρίστανε θνητό άνθρωπο το ονόμαζαν Ανδριάντα !

-Και όταν παρίστανε γυναίκα, ρώτησε, ανδριάντα το ονόμαζαν;

-Δεν το γνωρίζω, άλλωστε οι γυναίκες δεν ήταν στο πολιτικό προσκήνιο!

-Γέλασε και μου συστήθηκε. Χασάν, τουρκοκύπριος, δάσκαλος.

Γιάννης ,του είπα, καλαμαράς και συναδελφος!

Γνωριστήκαμε και επειδή η Σάμος είναι γνωστή και για το σαμιώτικο κρασί της, μας δόθηκε αρκετές φόρες η ευκαιρία να γίνουμε καλοί φίλοι και να μιλήσουμε πολύ για την ιστορία των ανθρώπων.

Σε μια από αυτές τις συζητήσεις μας πλησίασε ένας υπάλληλος του δήμου και μας έδωσε ένα μικρό δίπτυχο φυλλάδιο.

-Τι διαφημίζετε εδώ, τον ρωτήσαμε;

-Είναι οι λεπτομέρειες ενός πρωτότυπου διαγωνισμού. Διαβάστε το, ίσως σας ενδιαφέρει:

Όταν το διαβάσαμε ο Χασάν, έδειξε ενθουσιασμό και δήλωσε ότι θα λάβει μέρος με το γιο του.

-Ζηλεύω, του είπα, αλλά σαν φιλοξενούμενος της χώρα μου και φίλος μου, εγώ δεν θα σε ανταγωνιστώ.

-Ας ρίξουμε μια μάτια στις λεπτομέρειες έχει ενδιαφέρον, είπαμε.

Όροι διαγωνισμού:

  1. Ως μονάδα μέτρησης μήκους δεν θα χρησιμοποιηθούν, ούτε ο πήχης, ούτε ο πους ή άλλο μέτρο μήκους, αλλά μόνο τα βήματα σας.
  2. Η συμμετοχή μπορούσε να είναι και ομαδική .
  3. Επιτρεπόταν να ξεκινήσει το μέτρημα, από όποιο άκρο του ορύγματος ή και ταυτόχρονα, επιθυμούσε κάθε άτομο ή ομάδα .
  4. Η ώρα έναρξης θα δοθεί ταυτόχρονα στα δύο ανοίγματα.
  5. Κάθε διαγωνιζόμενος υποχρεώνεται να τοποθετήσει ένα ειδικό αυτοκόλλητο καρτελάκι με τον όνομά του στο σημείο που επιλέγει ως μέσον.
  6. Διάρκεια διαγωνισμού μία ώρα

Νικητής θα είναι εκείνος που θα προσδιορίσει το μέσον του ορύγματος με μεγαλύτερη ακρίβεια. Ανεκτό περιθώριο λάθους τα δύο μέτρα.

Προσοχή: Το τούνελ θα φωτίζεται επαρκώς. (Εξασφαλίσαμε την άδεια από την εφορία αρχαιοτήτων) Ήταν αναγκαίο γιατί χωρίς φως δεν μπορεί κανείς να κάνει ούτε ένα βήμα στα έγκατα της γης.

Αλλά αυτό που έκανε δημοφιλή τον διαγωνισμό ήταν το βραβείο του νικητή!

Θα έδιναν ως αναμνηστικό έπαθλο μια ασημένια «Σάμαινα»

(ακριβές αντίγραφο των ιδιόμορφων   θρυλικών καραβιών του Πολυκράτη)

-Λίγα γνωρίζω για τον Πολυκράτη, τον Πυθαγόρα και τον Ευπαλίνος είπε ο Χασάν, κάποια στιγμή θα μάθω περισσότερα.

-Να το κάνεις, αλλά τώρα προέχει ο διαγωνισμός.

Μέρες και νύχτες προσπαθούσαν οι τουρίστες αλλά και οι Έλληνες ντόπιοι και επισκέπτες να βρούνε τον τρόπο για να κερδίζουν το έπαθλο, αλλά και να τιμήσουν τον αρχιτέκτονα των Μεγάρων που είχε την δημιουργική έμπνευση και φαντασία να επινοήσει τον τρόπο που ανοίχτηκε αυτό το θαυμάσιο όρυγμα.

Σαν ήρθε το απόγευμα της Κυριακής και δόθηκε το σύνθημα ο Χασάν, ο τουρκοκύπριος δάσκαλος με το γιο του Μεχμέτ , ξεκίνησαν από τα δύο αντίθετα άκρα του τούνελ μετρώντας με τα βήματά τους  και με ρυθμό σταθερό. Πιο μεγάλα τα βήματα του μπαμπά πιο μικρά αλλά πιο γρήγορα τα βήματα που γιού. Είχαν εξασκηθεί μέρες για να έχουν σωστό ρυθμό. Τέσσερα βήματα ο μπαμπάς έξη ο γιος, αλλά τα δύο βήματα του μπαμπά ήταν ίσα με τέσσερα του γιου.

Όταν συναντήθηκαν στο τούνελ ρώτησε ο πατέρας το γιο του

Πόσα βήματα έκανες Μεχμέτ;

Τα μπέρδεψα δεν θυμάμαι, μπαμπά, είπε ο μικρός

Και τώρα τι κάνουμε ,κρίμα, ας πάμε ξανά από την αρχή.

Μια στιγμή είπε το δαιμόνιο Τουρκάκι.

Θυμάσαι πόσα βήματα έκανες εσύ μπαμπά;

Βεβαίως, του απάντησε ο πατέρας του και του είπε πόσα βήματα είχε κάνει.

Μην ανησυχείς, μπαμπά, θα το βρούμε!

Γύρνα πίσω εσύ. Εγώ θα μετρήσω άλλα 150 βήματα και άρχισε να μετρά από εκει και μπρος δυνατά τα βήματα του για να μην μπερδευτεί ξανά!

Όταν μέτρησε 150 βήματα είπε:

Να εδώ είναι το μέσον! Εδώ θα βάλουμε το ειδικό αυτοκόλλητο με το όνομά μας.

Μετά βγήκαν έξω, σε χρόνο ρεκόρ, δεν είχαν περάσει ούτε 35 λεπτά

Τη Δευτέρα Πατέρας και γιος έδειχναν με υπερηφάνεια την αστραφτερή «Σάμαινα» που κέρδισαν και περιέγραφαν το έξυπνο σχέδιό τους που τους έφερε νικητές

Πώς βρήκε το μέσον του ορύγματος ο μικρός Μεχμέτ;

Ποιες πληροφορίες του πατέρα του αξιοποίησε;

Πόσα μέτρα είχε βαδίσει ο πατέρας και πόσα ο γιος όταν συναντήθηκαν (Θεώρησε ότι το όρυγμα είναι 1050 μέτρα και όχι 1045)

Πόσα εκατοστά ήταν το ένα βήμα του πατέρα και πόσα το ένα βήμα του γιου;

Η λύση

Νύξη 1: Να δούμε ποιος βάδιζε ποιο γρήγορα και πόσο.

Όταν ο πατέρας κάνει 4 βήματα ο γιος του κάνει 6 Αλλά, αφού 4 του γιου αντιστοιχούν σε 2 του πατέρα

Τότε τα 6 βήματα του γιου αντιστοιχούν σε 3του πατέρα;

Νύξη 2: Άρα, όταν κάνει ο πατέρας 4 βήματα ο γιος κάνει στην πραγματικότητα 3 σαν του πατέρα του. Άρα βαδίζει γρηγορότερα ο Πατέρας.

Στα 4 βήματα που κάνει βαδίζει ένα ολόκληρο βήμα περισσότερο από το γιο του. Κάθε τετράδα βημάτων, λοιπόν, που κάνει ο πατέρας κερδίζει (περνάει) ένα βήμα το γιο του.Άρα όσα βήματα περνά ο πατέρας το γιο τόσες τετράδες βημάτων έχει βαδίσει

Νύξη 3: Όταν συναντήθηκαν προφανώς ο πατέρας είχε βαδίσει περισσότερο από το γιο.

Να δούμε πόσο περισσότερο:

Από το σημείο συνάντησης μέχρι το μέσον χρειάστηκαν 150 βήματα του γιου.

Άρα ο γιος είχε βαδίσει 150 βήματα λιγότερο από τη μέση και ο πατέρας του 150 περισσότερο από τη μέση .

Άρα ο πατέρας βάδισε 300 βήματα παιδικά περισσότερο από το γιο του

Νύξη 4: Τα 300 βήματα παιδικά αντιστοιχούν σε 150 του πατέρα

Άρα ο πατέρας βάδισε 150 βήματα περισσότερα από το γιο.

Νύξη 5: Άρα έκανε 150 τετράδες βημάτων δηλαδή 600 βήματα.

Αλλά αφού έκανε ο πατέρας 600 βήματα ο γιος έκανε 900 παιδικά (που ισοδυναμούν σε 450 αντρικά βήματα).

Νύξη 6: Πως βρήκε ο Μεχμετ τη λύση:

Όταν του είπε ο πατέρας πόσα βήματα είχε κάνει ,αμέσως Διαίρεσε τον αριθμό των βημάτων με το τέσσερα και βρήκε πόσες τετράδες βημάτων είχε κάνει ο πατέρας του Άρα και τόσα βήματα των περνούσε (βλέπε τι είπαμε παραπάνω)

Νύξη 7: Ο πατέρας ,προφανώς, του είπε ότι έκανε 600 βήματα και διαίρεσε το 600 με το 4 και βρήκε 150 ανδρικά και τα μετέτρεψε σε παιδικά τα 150 αντρικά αντιστοιχούν σε 300 Παιδικά

Νύξη 8: Μετά ήταν εύκολο να το βρει .Αν ο πατέρας του δεν είχε κάνει τα επιπλέον 300βήματα θα είχαν διανύσει ίδια απόσταση και θα απείχαν το ίδιο από το μέσον της διαδρομής 150 αυτός και 150 ο πατέρας του

Βάδισε τα 150 μέτρα που του υπολείπονταν και βρήκε το μέσον

Νύξη 9: Αφού ο πατέρας βάδισε 600 βήματα μέχρι να συναντηθούν ο γιος είχε βαδίσει μια απόσταση που ισοδυναμούσε με 450 βήματα του πατέρα. Σύνολο, δηλαδή και οι δύο 1050 βήματα. Αφού το όρυγμα έχει 1050 μέτρα μήκος και το διανύει ο πατέρας με 1050 βήματα σημαίνει ότι ένα βήμα ισοδυναμεί με ένα μέτρο

Νύξη 10: Ο πατέρας, λοιπόν, βάδισε 600 βήματα άρα 600 μέτρα και ο γιος 900 παιδικά βήματα που ισοδυναμούν με 450 αντρικά βήματα άρα βάδισε 450 μέτρα, όταν συναντήθηκαν.

Το βήμα του πατέρα ήταν 100 εκατοστά ( ένα μέτρο ) και του γιου 75 εκατοστά αφού στα 4 αντρικά βήματα του πατέρα αντιστοιχούν 3 αντρικά βήματα του γιου.


3. Το τέχνασμα του Αλκιβιάδη

 

Οι Αθηναίοι την Άνοιξη του 416 και ενώ βρισκόντουσαν στον 16ο χρόνο του πολέμου με τους Πελοποννησίους προβληματίζονταν αν πρέπει να εκστρατεύσουν στην μακρινή Σικελία.

Κυρίως τους επηρέαζαν οι γνώμες δύο σπουδαίων στρατηγών του Αλκιβιάδη (γιου του Κλεινία) και του Νικία (γιου του Νικάρατου).

(Το όνομα του πρώτου παράγεται από τις λέξεις αλκή (δύναμη) και βίος (ζωή) και του δευτέρου από τη νίκη).

Οι αρχαίοι Έλληνες συνήθιζαν να δίνουν ονόματα με σημαντικά νοήματα, που παρωθούσαν αυτόν που τα έφερε να τα τιμήσει!

Αποδειχτήκαν και οι δύο πολύ επιζήμιοι, όχι μόνο για την Αθήνα, αλλά και για τον κόσμο ολόκληρο, αφού έβλαψαν την Αθήνα ο πρώτος με την άτολμη φρονιμάδα του και ό άλλος με την άμετρη φιλοδοξία του!

Τον κόσμο τον έβλαψαν γιατί υποθέτουμε ότι θα ήταν καλλίτερα, αν στη θέση της Ρώμης ήταν η ωριμότερη Αθήνα.

Ο λαός είχε συγκεντρωθεί στην Πνύκα για να ακούσει τις συμβουλές τους και να αποφασίσει ό,τι του φανεί καλύτερο.

Ο Νικίας σοφός στρατηγός, στην δύση της ακμής του τότε, (54ων ετών) τους συμβούλευε να μη διακινδυνεύσουν (ρισκάρουν) κάνοντας αυτό τον πόλεμο γιατί ήταν ανέτοιμοι.

Δεν αρκεί να θέλεις, έλεγε, αλλά και να μπορείς. Και είχε δίκιο! Γιατί η καταστροφή που ακολούθησε τούτη την εκστρατεία οφείλεται στην μη ετοιμότητα και στη μικρή δύναμη του στόλου τους.

Ο Αλκιβιάδης, αντίθετα, που ήταν, τότε, στο άνθος της νιότης του,36 ετών, τους παρότρυνε να τολμήσουν, «Μη φοβάστε τα παράτολμα νιάτα, τους έλεγε, όλα θα πάνε καλά Και είχε δίκιο! Γιατί η καταστροφή που ακολούθησε τούτη την εκστρατεία δεν οφείλεται μόνο στην μη ετοιμότητα και στη μικρή δύναμη του στόλου τους αλλά επειδή έλλειπε ο φλογερός στρατηγός που θα την διοικούσε, ο Αλκιβιάδης.

Οι Αθηναίοι δέχτηκαν τη γνώμη του Αλκιβιάδης, αλλά την αρχηγία την ανέθεσαν στον Νικία. Όπως βλέπεις, θαύμασαν την γνώμη του Αλκιβιάδη, αλλά αρχιστράτηγο όρισαν τον Νικία.

Ο Νικίας, σαν άκουσε την απόφαση της συνέλευσης, πήρε το λόγο και είπε ότι για να πετύχει η εκστρατεία πρέπει να εξοπλίσουμε 100 τριήρεις!

Οι αθηναίοι δεν είχαν τόσα πολλά διαθέσιμα καραβιά!

Η εκστρατεία κινδύνευε να ματαιωθεί!!

Τότε όλοι οι αθηναίοι,  πλούσιοι και φτωχοί έδωσαν τον οβολό τους για να φτιαχτούν νέα καράβια!

Ο Αλκιβιάδης, λένε, ότι συμβούλεψε ένα πλούσιο αθηναίο χορηγό να πει τα παρακάτω λόγια σε κείνη την συνέλευση. Δεν   πιστεύουμε ότι έτσι έγιναν τα πράγματα, αλλά και έτσι να έγιναν δεν αδικούν κανένα . Ας τα ακούσουμε:

Αθηναίοι, είπε, τότε εκεί εκείνος ο πλουσιος αθηναιος, έστειλα και έφεραν από το σπίτι μου, αυτό το κιβώτιο που κουβαλά αυτός εδώ ο δούλος μου. Έχει μέσα τάλαντα που θα τα δωρίσω όλα σήμερα για τις ανάγκες της εκστρατείας!

Σας δηλώνω με ειλικρίνεια ότι αυτά τα τάλαντα είναι αρκετά, αλλά δεν επαρκούν να αγοράσω δέκα τριήρεις. ( όποιος αμφιβάλλει, ας τα μετρήσουν οι Πρυτάνεις)

Αν όμως εσείς διπλασιάσετε από το δημόσιο ταμείο σας, αυτά τα τάλαντα που τώρα έχω, τότε θα αγοράσω και θα δωρίσω στην πόλη 10 τριήρεις. (Κάθε μια τριήρης κόστιζε 10 τάλαντα)

Οι ρήτορες που πήραν τον λόγο συμβούλεψαν τον λαό να συμφωνήσει, γιατί σε καμιά περίπτωση, δεν θα ζημιωνόταν το κράτος. Ο πλούσιος χορηγός θα είχε το λιγότερο, τουλάχιστον, 50 τάλαντα. για να κάνει αυτή την πρόταση!

Ο λαός συμφώνησε και ο ταμίας του κράτους διπλασίασε τα τάλαντα που είχε ο πλούσιος χορηγός στο κιβώτιό του.

Ο πλούσιος χορηγός μέτρησε και έδωσε αμέσως 100 τάλαντα να αγοράσουν 10 τριήρεις

Του περίσσεψαν, όμως, αρκετά τάλαντα και επανέλαβε την ίδια πρόταση!

Οι Αθηναίοι, και πάλι, δέχτηκαν την πρότασή του και του διπλασίασαν πάλι τα υπόλοιπα τάλαντα.

Ξαναέδωσε ο πλούσιος χορηγός για δεύτερη φορά 100 τάλαντα για την αγορά και άλλων 10 τριηρών.

Μα πάλι του περίσσεψαν τάλαντα και επαναλαμβάνει την πρότασή του για Τρίτη φορά!

Ο λαός ενέκρινε και την Τρίτη φορά την πρότασή του!!!

Τότε ο πλούσιος χορηγός μέτρησε για τρίτη φορά 100 ακόμη τάλαντα και τα έδωσε για να αγοραστούν άλλες 10 τριήρεις

Μετά από αυτό σήκωσε ο δούλος το άδειο ,πλέον, κιβώτιο και έφυγε για το σπίτι του, ο πλούσιος χορηγός.

Πόσα τάλαντα είχε αρχικά φέρει ο ευεργέτης πλούσιος χορηγός;

Ο στόλος ξεκίνησε εορταστικά   από τον Πειραιά, αλλά πριν φτάσει ο λαμπρός αυτός στόλος στην Σικελία, οι Αθηναίοι ανακάλεσαν τον Αλκιβιάδη από την εκστρατείας για να τον τιμωρήσουν, επειδή πρόσβαλε τους θεούς τους.

Έτσι έκανε και πολύ σωστά, η αθηναϊκή δημοκρατία με τους πανίσχυρους νόμους της   στον Αλκιβιάδη. Όπως όμοια είχε φερθεί και σε άλλους όπως είναι οι:

Σωκράτης! Θεμιστοκλής! Μιλτιάδης:! ΑριστείδηςΔίκαιος! Φειδίας:! Αισχύλος!

Σοφοκλής! Ευριπίδης! Ηρόδοτος! Θουκυδίδης! Αριστοφάνης! Ισοκράτης!

Όλοι αυτοί οι διακεκριμένοι πολίτες πρέπει να γνώριζαν ότι δικάστηκαν με νόμους δίκαιους από μια κοινωνία που γνώριζε ότι κανείς, όσο επιφανής και αν είναι, δεν είναι υπεράνω των νόμων. Από τους επιφανής συνανθρώπους των καταλύθηκαν τα ωραία πολιτεύματα των ανθρώπων. Οι επιφανείς εύκολα γίνονται αλαζόνες όταν βλέπουν τα θαυμαστικά των ανθρώπων. Η δημοκρατία είναι το δίκαιο και  παρήγορο σοφό λάθος των ανθρώπων!

Η λύση

Νύξη 1 : Πόσα τάλαντα μέτρησε την Τρίτη φορά;

Νύξη 2 : Συμφωνείς ότι μέτρησε 100. Συμφωνείς, επίσης, ότι δεν του περίσσεψαν άλλα τάλαντα;

Νύξη 3 : Την τελευταία φορά πριν διπλασιαστούν; και γίνουν 100, Πόσα ήταν;

Νύξη 4: Συμφωνείς ότι ήταν 50

Νύξη 5: Αυτά τα 50 δεν πρέπει να ήταν το περίσσευμα μετά την δεύτερη δωρεά;

Νύξη 6: Πριν τη δεύτερη δωρεά συμφωνείς ότι είχε συγκεντρώσει 150;

Νύξη 7: Αυτά τα 150 συμφωνείς ότι θα προέκυψαν από τον διπλασιασμό των 75 τάλαντων που θα του έμειναν μετά την πρώτη δωρεά;

Νύξη 8: Αν 75 του έμειναν μετά την πρώτη δωρεά τότε πριν την δωρεά θα είχε 175 τάλαντα;

Νύξη 9: Αυτά δεν προέκυψαν από τον πρώτο διπλασιασμό των ταλάντων του πλούσιου χωρηγού;

Νύξη 10: Συμφωνείς ότι αφού διπλασιάστηκαν και έγιναν 175 τάλαντα το αρχικό ποσό θα ήταν το μισό δηλαδή, 87,5 τάλαντα;

Ένας πίνακας με το παράδειγμα

Τα τάλαντα  αρχικά ήταν ….…87,5
Μετά τον πρώτο διπλασιασμό έγιναν……..…175 έδωσε 100   του έμειναν 75
Μετά την πρώτη δωρεά του έμειναν…………75
Μετά τον Δεύτερο διπλασιασμό έγιναν……...150 έδωσε 100     του έμειναν 50
Μετά την Δεύτερη δωρεά του έμειναν……….50
Μετά τον Τρίτο διπλασιασμό έγιναν……...…100 έδωσε 100     του έμειναν 0
Οι Αθηναίοι (το κράτος) έδωσαν   212,5 τάλαντα και ο χωρηγος 87,5

Λίγα Λόγια

Καθημερινή ενημέρωση σε όλα τα θέματα που αφορούν την εκπαίδευση.

Με νέο υλικό και πρωτότυπες προτάσεις, στόχος μας είναι να ενημερώνει κάθε ενδιαφερόμενο και να βοηθάει καθένα που θέλει να ασκεί διδακτικό ή καθοδηγητικό έργο.

Google Maps

Στοιχεία Επικοινωνίας

Επικοινωνήστε